Question

15．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若向量$\overrightarrow m$=（2a，1-sin²$\frac{A}{2}$），$\overrightarrow n$=（cos²$\frac{C}{2}$，2c），$\overrightarrow m$•$\overrightarrow n$=3b．
（1）证明：sinA，sinB，sinC成等差数列；
（2）若b=8，B=$\frac{π}{3}$，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow m$•$\overrightarrow n$=3b，可得$2a{cos^2}\frac{C}{2}+2c（1-{sin^2}\frac{A}{2}）=3b$，再利用正弦定理、倍角公式、等差数列的定义即可证明．
（2）由（1）可知，a+c=2b，又b=8，利用余弦定理可得ac=64，利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 （1）证明：∵$\overrightarrow m$•$\overrightarrow n$=3b，
∴$2a{cos^2}\frac{C}{2}+2c（1-{sin^2}\frac{A}{2}）=3b$，
由正弦定理得：$2sinA{cos^2}\frac{C}{2}+2sinC{cos^2}\frac{A}{2}=3sinB$，
∴sinA（cosC+1）+sinC（cosA+1）=3sinB，
∴sinA+sinC=2sinB，
故sinA，sinB，sinC成等差数列．
（2）解：由余弦定理，b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac，
由（1）可知，a+c=2b，又b=8，解得ac=64，
故△ABC的面积$S=\frac{1}{2}acsinB=16\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、向量数量积运算性质、等差数列的定义、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．