Question

已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n＋1是关于x的方程x²－2ⁿx＋b_n＝0的两根，且a₁＝1.

(1)求证：数列是等比数列；

(2)求数列{a_n}的前n项和S_n；

(3)设函数f(n)＝b_n－t·S_n(n∈N^*)，若f(n)＞0对任意的n∈N^*都成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

 (1)∵ a_n＋a_n＋1＝2ⁿ，

∴ a_n＋1－·2^n＋1＝－，

∵ a₁－·2＝≠0，

∴＝－1，

∴是首项为，公比为－1的等比数列，

且a_n＝[2ⁿ－(－1)ⁿ]．

(2)由(1)，得S_n＝a₁＋a₂＋…＋a_n＝(2＋2²＋…＋2ⁿ)－[(－1)＋(－1)²＋…＋(－1)ⁿ]

＝

＝

＝

(3)∵ b_n＝a_n·a_n＋1，

∴ b_n＝[2ⁿ－(－1)ⁿ][2^n＋1－(－1)^n＋1]＝[2^2n＋1－(－2)ⁿ－1]，

∵ b_n－t·S_n＞0，

∴ [2^2n＋1－(－2)ⁿ－1]－t·＞0.

∴ 当n为奇数时，

(2^2n＋1＋2ⁿ－1)－(2^n＋1－1)＞0，

∵ t＜(2ⁿ＋1)对任意的n为奇数都成立，∴ t＜1.

∴ 当n为偶数时，

(2^2n＋1－2ⁿ－1)－(2^n＋1－2)＞0，

∴ (2^2n＋1－2ⁿ－1)－(2ⁿ－1)＞0，

∵ t＜(2^n＋1＋1)对任意的n为偶数都成立，∴ t＜.

综上所述，实数t的取值范围为(－∞，1)．