Question

6．已知a为实数，函数f（x）=x³-ax²-4x+4a满足f′（1）=0．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的单调区间和极值；
（3）若方程f（x）=m只有一个实数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由原式得f（x）=x³-ax²-4x+4a，f'（x）=3x²-2ax-4．由f'（-1）=0得$a=\frac{1}{2}$，
（2）利用导数求出单调区间，再确定极值；
（3）方程f（x）=m只有一个实数根，即函数y=f（x）的图象与y=m的图象只有一个交点，利用（2）可得实数m的取值范围

解答 解：（1）由原式得f（x）=x³-ax²-4x+4a，
∴f'（x）=3x²-2ax-4．由f'（-1）=0得$a=\frac{1}{2}$，
（2）$f（x）={x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-4x+2，f'（x）=3{x^2}-x-4$．
由f'（x）═0得$x=\frac{4}{3}$或x=-1，

x	（-∞，-1）	-1	$（-1，\frac{4}{3}）$	$\frac{4}{3}$	$（\frac{4}{3}，+∞）$
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大	递减	极小	递增

∴$函数f（x）的单调增区间（-∞，-1），（\frac{4}{3}，+∞）减区间（-1，\frac{4}{3}）$，$函数f（x）的极大值f（-1）=\frac{9}{2}，极小值f（\frac{4}{3}）=-\frac{50}{27}$；
（3）∵方程f（x）=m只有一个实数根
∴函数y=f（x）的图象与y=m的图象只有一个交点
故实数m的取值范围为$m＜-\frac{50}{27}或m＞\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了导数的应用，考查了函数与方程思想、转化思想，属于中档题．