Question

10．设函数f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+φ）（0＜φ＜$\frac{π}{2}$），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=$\frac{π}{4}$．
（1）求φ；
（2）求函数y=f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的性质可知x=$\frac{π}{4}$．f（x）取得最值，即可求出φ
（2）根据三角函数的性质可求f（x）的单调增区间．

解答 解　（1）∵x=$\frac{π}{4}$是y=f（x）的图象的一条对称轴，
∴sin（$\frac{1}{2}$×$\frac{π}{4}$+φ）=±1，
∴$\frac{π}{8}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{3π}{8}$．
此时f（x）的解析式为f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{3π}{8}$）；
（2）由（1）知f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{3π}{8}$），
由题意得：令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{8}$π≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得4kπ-$\frac{7}{4}$π≤x≤4kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∴函数f（x）的单调增区间为[4kπ-$\frac{7}{4}$π，4kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z．

点评 本题考查正弦函数的图象及性质的运用，于基础题．