Question

11．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，且PA=AD=2，E、F分别为棱AD、PC的中点．
（1）求异面直线EF和PB所成角的大小；
（2）求证：平面PCE⊥平面PBC；
（3）求二面角E-PC-D的大小．

Answer 1

分析 以直线AB为x轴，直线AD为y轴，直线AP为z轴建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，
（1）求出$\overrightarrow{EF}$=（1，0，1）．$\overrightarrow{PB}$=（2，0，-2），利用空间向量的数量积求解即可得到异面直线EF和PB所成角的大小．
（2）证明EF⊥PB，EF⊥BC，然后证明平面PCE⊥平面PBC．
（3）过点D作DH⊥PC于H，求出$\overrightarrow{DH}$=（$\frac{4}{3}$，-$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$），又$\overrightarrow{EF}$=（1，0，1），利用空间向量的数量积求解二面角的平面角的大小即可．

解答 解：以直线AB为x轴，直线AD为y轴，直线AP为z轴建立空间直角坐标系，如图，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．
（1）∵E为AD的中点，∴E（0，1，0），又F为PC的中点，

∴F（1，1，1）．∴$\overrightarrow{EF}$=（1，0，1）．又$\overrightarrow{PB}$=（2，0，-2），
∴cos＜$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{PB}$＞=$\frac{1×2+1×（-2）}{\sqrt{1+1}•\sqrt{4+4}}$=0，∴cos＜$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{PB}$＞=90°，
异面直线EF和PB所成角的大小为90°．
（2）证明：由（1）知EF⊥PB，
又∵$\overrightarrow{BC}$=（0，2，0），$\overrightarrow{EF}$=（1，0，1）∴$\overrightarrow{EF}$•$\overrightarrow{BC}$=0，∴EF⊥BC，∴EF⊥平面PBC，
又EF?平面PCE，∴平面PCE⊥平面PBC．
（3）过点D作DH⊥PC于H，在Rt△PDC中，PD=2$\sqrt{2}$，DC=2，PC=2$\sqrt{3}$，则CH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，PH：HC=2：1，
又P（0，0，2），C（2，2，0），D（0，2，0），∴H（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$，$\frac{2}{3}$），∴$\overrightarrow{DH}$=（$\frac{4}{3}$，-$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$），又$\overrightarrow{EF}$=（1，0，1），
cos＜$\overrightarrow{DH}$，$\overrightarrow{EF}$＞=$\frac{2}{\frac{2\sqrt{6}}{3}×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴＜$\overrightarrow{DH}$，$\overrightarrow{EF}$＞=30°．
二面角E-PC-D的大小30°．

点评 本题考查二面角的平面角的求法，异面直线所成角的求法，直线与平面垂直平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．