Question

已知△ABC中，∠BAC=90°，SA⊥面ABC，且SA=3，AB=AC=4．
（1）求SC与平面SAB所成角的余弦值；
（2）试判断△SBC的形状，说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,三角形的形状判断

专题：计算题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）首先根据线面垂直的性质和判定定理，得到AC⊥面SAB，则∠CSA则为SC与平面SAB所成角．求∠CSA的大小可以通过解直角三角形知识求解；
（2）要判定△SBC的形状，可通过解直角三角形，计算SB，SC，BC，再由解三角形的知识，即可判断．

解答： 解：（1）由∠BAC=90°，则AB⊥AC，
SA⊥面ABC，则SA⊥AC，
又AB∩SA=A，则有AC⊥面SAB，
则∠CSA则为SC与平面SAB所成角．
在直角△ACS中，AS=3，AC=4，SC=5，
则cos∠CSA=

3

5

，
故SC与平面SAB所成角的余弦值

3

5

；
（2）△SBC为等腰三角形或锐角三角形．
由于SA⊥面ABC，
则SA⊥AB，则有SB=SC=5，
在直角△ABC中，BC=4

2

，
cos∠CSB=

52+52-(4 2 )2

2×5×5

＞0，
则∠CSB为锐角三角形，
故三角形SBC为等腰三角形或锐角三角形．

点评：本题考查的知识点：线面垂直的判定和性质定理，线面夹角的转化，解直角三角形，属于中档题．