题目内容
求函数f（x）=
+
的值域．
| x2-4x+5 |
| x2+6x+13 |
考点：函数的值域
专题：函数的性质及应用
分析：首先，将给定的函数解析式进行化简，然后，结合几何意义，转化成对称问题求解．
解答：
解：根据函数的组成，得
f(x)=
+
，
上式的几何意义为x轴上的点P（x，0）到点A（2，1）和点B（3，2）的距离之和，
设点A关于X轴的对称点为A1（2，-1），则
|PA|+|PB|=|PA1|+|PB|
连接A1B，交于X轴于点P，
此时，|PA1|+|PB|最小，
（|PA|+|PB|）min=|PA1|+|PB|=|A1B|=
=
，
所以，该函数的值域为[
，+∞)．
f(x)=
| (x-2)2+(0-1)2 |
| (x-3)2+(0-2)2 |
上式的几何意义为x轴上的点P（x，0）到点A（2，1）和点B（3，2）的距离之和，
设点A关于X轴的对称点为A1（2，-1），则
|PA|+|PB|=|PA1|+|PB|
连接A1B，交于X轴于点P，
此时，|PA1|+|PB|最小，
（|PA|+|PB|）min=|PA1|+|PB|=|A1B|=
| (3-2)2+[2-(-1)]2 |
| 10 |
所以，该函数的值域为[
| 10 |
点评：本题重点考查函数的几何意义，数形结合思想在求解函数值域中的应用，属于中档题．
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