Question

14．已知函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=2，若f（3）=2，则f（2017）=（　　）

• A． 2
• B． -2
• C． 4
• D． 1

Answer 1

分析 由于f（x）•f（x+2）=2，以x+2代x得f（x+2）•f（x+4）=2，所以f（x）=f（x+4）．函数f（x）是周期函数，4是一个周期．在f（x）•f（x+2）=2中，令x=1得出f（1），f（3）关系式，求解即可

解答 解：∵函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=2，
∴以x+2代x得f（x+2）•f（x+4）=2，
∴f（x）=f（x+4），函数f（x）是周期函数，4是一个周期．
f（2017）=f（504×4+1）=f（1），
又在f（x）•f（x+2）=2中，令x=1得出f（1）•f（3）=2，
∵f（3）=2∴f（1）=1，
∴f（2017）=f（1）=1．
故答案为：1．

点评 本题考查抽象函数求值，一般令相关字母准确赋值，利用关系式求解．本题发掘出周期性很关键