Question

17．已知f（x）=ax⁴+bx²+c的图象经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=x-2，则y=f（x）的解析式为f（x）=$\frac{5}{2}{x}^{4}-\frac{9}{2}{x}^{2}+1$．

Answer 1

分析 由f（x）=ax⁴+bx²+c的图象经过点（0，1）求得c=1，再由在x=1处的切线方程是y=x-2，得到f′（1）=1且f（1）=-1，联立求出a，b的值得答案．

解答 解：∵f（x）=ax⁴+bx²+c的图象经过点（0，1），
∴f（0）=c=1，
则f（x）=ax⁴+bx²+1，
f′（x）=4ax³+2bx，
又在x=1处的切线方程是y=x-2，
∴f′（1）=4a+2b=1，且f（1）=a+b+1=-1，解得$a=\frac{5}{2}，b=-\frac{9}{2}$．
∴y=f（x）的解析式为f（x）=$\frac{5}{2}{x}^{4}-\frac{9}{2}{x}^{2}+1$．
故答案为：f（x）=$\frac{5}{2}{x}^{4}-\frac{9}{2}{x}^{2}+1$．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．