Question

4．已知离心率为$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$的椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦点分别为F₁，F₂，线段OF₁，OF₂（O为坐标原点）的中点分别为B₁，B₂，上顶点为A，且△AB₁B₂是腰长为2$\sqrt{2}$的等腰三角形．
（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过B₁点作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB₂⊥QB₂，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （I）利用离心率为$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，得出b=$\frac{c}{2}$．利用△AB₁B₂是腰长为2$\sqrt{2}$的等腰三角形，求出c，可得a，b，即可求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）B₁（-2，0），B₂（2，0），设直线PQ的方程为x=my-2代入椭圆方程，得（m²+5）y²-4my-16=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线l的方程．

解答 解：（I）∵离心率为$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，∴$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，b=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a，∴b=$\frac{c}{2}$．
∵△AB₁B₂是腰长为2$\sqrt{2}$的等腰三角形，∴c=$\sqrt{2}•2\sqrt{2}$=4
∴a=2$\sqrt{5}$，∴b=2
因此所求椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（Ⅱ）由（Ⅱ）知B₁（-2，0），B₂（2，0），设直线PQ的方程为x=my-2代入椭圆方程，
消元可得（m²+5）y²-4my-16=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则y₁+y₂=$\frac{4m}{{m}^{2}+5}$，y₁y₂=-$\frac{16}{{m}^{2}+5}$
∵PB₂⊥QB₂，
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=-$\frac{16{m}^{2}-64}{{m}^{2}+5}$=0，
解得m=±2，
∴满足条件的直线有两条，其方程分别为：x+2y+2=0和x-2y+2=0．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．