Question

1．已知函数$f（x）=\frac{x-a}{x+1}{e^x}$，在定义域内有极值点，则实数a的取值范围是（-∞，-1）∪（3，+∞）．

Answer 1

分析 本题属于利用导函数判断函数是否存在极值点问题．（1）首先对函数f（x）进行求导运算，得到f′（x）=$\frac{{e}^{x}}{（x+1）^{2}}（{x}^{2}+x-ax+1）$；（2）要使得f（x）有极值点，则f（x）导函数f'（x）的函数图形需要穿过x轴，即同时存在某个特定区间使得f'（x）＞0和f'（x）＜0．则对 h（x）=x²+x-ax+1函数利用△来判断是否存在零点．

解答 解：由题意知：$f（x）=\frac{x-a}{x+1}{e}^{x}$
对f（x）进行求导：
$f'（x）=（\frac{x-a}{x+1}）′{e}^{x}+（\frac{x-a}{x+1}）{（e}^{x}）′$
=${e}^{x}[\frac{a+1}{（x+1）^{2}}+\frac{x-a}{x+1}]$
=${e}^{x}[\frac{{x}^{2}+x-ax+1}{（x+1）^{2}}]$
=$\frac{{e}^{x}}{（x+1）^{2}}（{x}^{2}+x-ax+1）$
∵$\frac{{e}^{x}}{（x+1）^{2}}＞0$，
要使得f（x）有极值点，则f（x）导函数f'（x）的函数图形需要穿过x轴，即同时存在某个特定区间使得f'（x）＞0和f'（x）＜0．
令 h（x）=x²+x-ax+1
则△=（1-a）²-4⇒a＜-1 或 a＞3．
故答案为：（-∞，-1）∪（3，+∞）

点评 本题属于利用导函数判断函数是否存在极值点问题．主要考查了导函数运算，导函数零点与原函数极值点的分析理解．