Question

【题目】在直角坐标系中，以坐标原点务极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线，

(1)求曲线，的直角坐标方程；

(2)曲线和的交点为，，求以为直径的圆与轴的交点坐标．

Answer 1

【答案】(1) ： ;: (2) 点坐标为或

【解析】

（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）先求出MN的中点坐标，|MN|的长，可求得圆的方程，再令x=0，即可求解．

（Ⅰ）由sin（θ+）=，得ρ（sinθcos+cosθsin）=，

将代入上得x+y=1，即C1的直角坐标方程为x+y+1=0，

同理由ρ2=，可得3x2-y2=1，∴C2的直角坐标方程为3x2-y2=1.

（Ⅱ）∵PM⊥PN，先求以MN为直径的圆，设Mx1，y1），N（x2，y2），

由得3x2-（1-x）2=1，即x2+x-1=0，

∴，则MN的中点坐标为（-，），

由弦长公式，可得|MN|=|x1-x2|==．

∴以MN为直径的圆：（x+）2+（y-）2=（）2，

令x=0，得+（y-）2=，即（y-）2=，∴y=0或y=3，

∴所求P点的坐标为（0，0）或（0，3）．