题目内容
【题目】如图所示,直平行六面体的所有棱长都为2,
,过体对角线
的截面S与棱
和
分别交于点E、F,给出下列命题中:
①四边形的面积最小值为
;
②直线EF与平面所成角的最大值为
;
③四棱锥的体积为定值;
④点到截面S的距离的最小值为
.
其中,所有真命题的序号为( )
A.①②③B.①③④C.①③D.②④
【答案】B
【解析】
①分析可得当为为棱
的中点时,四边形
的面积最小,求解即可;
②过点的平面
的垂线交平面于点
,转化直线EF与平面
所成角最大为直线
与直线
的夹角最小,进而求解即可;
③转化四棱锥的体积为以平面和平面
为底的三棱锥的体积的和,进而求证即可;
④分析可得当点与点
重合,点
与点
重合时四边形
的面积最大,此时点
到截面S的距离的最小,进而求解即可
由题,因为过体对角线,则由对称性易得四边形是平行四边形,
连接,
,且交于点
,过点
作
的垂线,垂足为
,
则若四边形面积最小,即
最小,
即为棱到平面
的距离,即为
长,
因为,则
,
所以,
则,
又,
所以,此时
为棱
的中点,故①正确;
过点的平面
的垂线交平面于点
,则
即为点
到平面
的距离,根据底面菱形
的性质,可得
,
若直线EF与平面所成角最大,则直线
与直线
的夹角最小,即
最小,此时
最大,即
最小,
即时,故
,则
,
则直线EF与平面所成角最大为
,故②错误;
设点到平面
,平面
的距离分别为
,即从点
分别向
作垂线即可,由菱形
可得
,
,
为定值,故③正确;
因为四棱锥的体积为定值
,
所以若点到截面S的距离的最小,则截面
的面积最大,即四边形
面积最大,即
最大,则当点
与点
重合,点
与点
重合时符合条件,此时在
中,
,
,则
,则
,
所以,此时
,
设点到截面S的距离为
,则
,所以
,故④正确
综上,①③④正确,
故选:B
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