题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
为菱形,
,
,且
.
(1)求证:平面平面
;
(2)若,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析; (2).
【解析】
(1)先根据计算得线线线线垂直,再根据线面垂直判定定理以及面面垂直判定定理得结论,(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量求二面角.
(1)证明:取中点
,连结
,
,
,
因为底面为菱形,
,所以
.
因为为
的中点,所以
.
在△中,
,
为
的中点,所以
.
设,则
,
,
因为,所以
.
在△中,
,
为
的中点,所以
.
在△ 和△
中,因为
,
,
,
所以△
△
.
所以.所以
.
因为,
平面
,
平面
,
所以平面
.
因为平面
,所以平面
平面
.
(2)因为,
,
,
平面
,
平面
,
所以平面
.所以
.
由(1)得,
,所以
,
,
所在的直线两两互相垂直.
以为坐标原点,分别以
所在直线为
轴,
轴,
轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设,则
,
,
,
,
所以,
,
,
设平面的法向量为
,
则 令
,则
,
,所以
.
设平面的法向量为
,
则 令
,则
,
,所以
.
设二面角为
,由于
为锐角,
所以
.
所以二面角的余弦值为
.
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