Question

【题目】已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，离心率，点在椭圆C上，直线l过交椭圆于A，B两点.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）当时，点A在x轴上方时，求点A，B的坐标；

（3）若直线交y轴于点M，直线交y轴于点N，是否存在直线l，使得与的面积满足，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）存在，或

【解析】

（1）由和点在椭圆上结合可求出椭圆的方程.
（2）设，，则，结合点A在椭圆上可求出A点坐标，然后可得直线AB的方程，再与椭圆联立可求出B点坐标.
（3）设，，，，设直线l：，，.由建立关于 的方程从而求解.

解：（1）由题意可知，，，又，

联立方程组可解得：，，

所以椭圆C的方程为.

（2）设，依题意，，，

，即，

，

又A在椭圆上，满足，即，

，解得，即，

直线AB：，

联立，解得.

（3）设，，，，

直线l：（斜率不存在时不满足题意），

则，

.

联立，得.

则，.

由直线的方程：，得M纵坐标.

由直线的方程：，得N纵坐标，

由，得.

所以，

，，

代入根与系数的关系式，得，解得.

存在直线或满足题意.