Question

5．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，$\sqrt{3}$），则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{7}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 根据题意得点（2，$\sqrt{3}$）在直线y=$\frac{b}{a}$x上，可得$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，利用双曲线基本量的平方关系算出c=$\frac{\sqrt{7}}{2}$a，再根据离心率的公式加以计算，即可得出该双曲线的离心率．

解答 解：∵双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
∴渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
因此，点（2，$\sqrt{3}$）在直线y=$\frac{b}{a}$x上，可得$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，即b²=c²-a²=$\frac{3}{4}$a²，可得c=$\frac{\sqrt{7}}{2}$a，
由此可得双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
故选：B．

点评 本题给出双曲线的渐近线上点的坐标，求双曲线的离心率．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．