Question

17．在平面直角坐标系xOy中，已知向量$\overrightarrow a$=（2，0），$\overrightarrow b$=（0，1）．设向量$\overrightarrow x=\overrightarrow a+（{1+cosθ}）\overrightarrow b$，$\overrightarrow y=-k\overrightarrow a+{sin^2}$$θ•\overrightarrow b$，其中0＜θ＜$\frac{π}{2}$．
（1）若$\overrightarrow x$∥$\overrightarrow y$，且θ=$\frac{π}{3}$，求实数k的值；
（2）若$\overrightarrow x$⊥$\overrightarrow y$，求实数k的最大值，并求取最大值时cosθ的值．

Answer 1

分析 （1）把θ=$\frac{π}{3}$代入$\overrightarrow x=\overrightarrow a+（{1+cosθ}）\overrightarrow b$，$\overrightarrow y=-k\overrightarrow a+{sin^2}$$θ•\overrightarrow b$，结合已知向量的坐标可得$\overrightarrow{x}，\overrightarrow{y}$的坐标，再由向量共线的坐标表示列式求得k值；
（2）由$\overrightarrow x$⊥$\overrightarrow y$，结合向量垂直的坐标表示可得$k=\frac{1}{4}{sin^2}θ（{1+cosθ}）$．换元后利用导数求得最值，并得到k取最大值时cosθ的值．

解答 解：（1）当$θ=\frac{π}{3}$时，$\overrightarrow x=（{2，\frac{3}{2}}）$，$\overrightarrow y=（{-2k，\frac{3}{4}}）$，
∵$\overrightarrow x$∥$\overrightarrow y$，∴$2•\frac{3}{4}=-2k•\frac{3}{2}$，
∴$k=-\frac{1}{2}$；
（2）依题意，$\overrightarrow x=（{2，1+cosθ}）$，$\overrightarrow y=（{-2k，{{sin}^2}θ}）$．
∵$\overrightarrow x$⊥$\overrightarrow y$，
∴4k=sin²θ（1+cosθ），即$k=\frac{1}{4}{sin^2}θ（{1+cosθ}）$．
令y=sin²θ（1+cosθ），即y=（1-cos²θ）（1+cosθ），其中$0＜θ＜\frac{π}{2}$．
令cosθ=t∈（0，1），则y=-t³-t²+t+1，t∈（0，1）．
则y′=-3t²-2t+1=-（t+1）（3t-1）．
令y′=0，则$t=\frac{1}{3}$，
∴当$t∈（{0，\frac{1}{3}}）$时，y′＞0，即y=-t³-t²+t+1在$t∈（{\frac{1}{3}，1}）$上单调递增；
当$t∈（{\frac{1}{3}，1}）$时，y′＜0，即y=-t³-t²+t+1在$t=\frac{1}{3}$上单调递减．
故当$t=\frac{1}{3}$，即$cosθ=\frac{1}{3}$时，${y_{max}}=\frac{32}{27}$，此时实数k取最大值$\frac{8}{27}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量共线与垂直的坐标表示，训练了利用导数求函数的最值，是中档题．