设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+c在x=1及x=2时取得极值．(1)求a.b的值,在[-1.2]上的最大值是9.求f(x)在[-1.2]上的最小值．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

13．设函数f（x）=2x³+3ax²+3bx+c在x=1及x=2时取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）若f（x）在[-1，2]上的最大值是9，求f（x）在[-1，2]上的最小值．

分析（1）求出函数的导数，利用函数的极值，列出方程组求解a，b即可．
（2）利用函数的导数，判断函数的单调性求出函数的最大值，推出c，然后求解函数的最小值即可．

解答解：（1）函数f（x）=2x³+3ax²+3bx+c，可得f′（x）=6x²+6ax+3b
因为函数f（x）在x=1及x=2时取得极值，则有f′（1）=0，f′（2）=0．
即$\left\{\begin{array}{l}{6+6a+3b=0}\\{24+12a+3b=0}\end{array}\right.$解得a=-3，b=4．
（2）由（1）可知，f（x）=2x³-9x²+12x+c，f′（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．
当x∈[-1，1]时，f′（x）＞0；当x∈（1，2]时，f′（x）＜0．
f（x）在[-1，2]上的最大值是f（1）=5+c=9，c=4．
此时f（-1）=-19，f（2）=8，所以最小值在x=-1时取得，为-19．

点评本题考查函数的极值的求法函数的单调性以及函数的最值的求法，考查计算能力．

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