Question

为了进一步激发同学们的学习热情，某班级建立了理科．文科两个学习兴趣小组，两组的人数如下表所示．现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从两组中共抽取3名同学进行测试．

组别 性别	理科	文科
男	5	1
女	3	3

（1）求从理科组抽取的同学中至少有1名女同学的概率；
（2）记ξ为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）两小组的总人数之比为8：4=2：1，共抽取3人，所以理科组抽取2人，文科组抽取1人，从理科组抽取的同学中至少有1名女同学的情况有：一男一女、两女，由此能求出从理科组抽取的同学中至少有1名女同学的概率．
（2）由题意可知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望．

解答： 解：（1）两小组的总人数之比为8：4=2：1，
共抽取3人，所以理科组抽取2人，
文科组抽取1人，…（2分）
从理科组抽取的同学中至少有1名女同学的情况有：一男一女、两女，
所以所求的概率为：P=

C 1 3 C 1 5 + C 2 3

C 2 8

=

9

14

．…（4分）
（2）由题意可知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，…（5分）
相应的概率分别是：
P(ξ=0)=

C 0 5 C 2 3

C 2 8

C 1 3

C 1 4

=

9

112

，
P(ξ=1)=

C 1 3 C 1 5

C 2 8

C 1 3

C 1 4

+

C 2 3

C 2 8

1

C 1 4

=

48

112

，
P(ξ=2)=

C 1 3 C 1 5

C 2 8

1

C 1 4

+

C 2 5

C 2 8

C 1 3

C 1 4

=

45

112

，
P(ξ=3)=

C 2 5

C 2 8

1

C 1 4

=

10

112

，…（9分）
所以ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	9 112	48 112	45 112	10 112

Eξ=1×

48

112

+2×

45

112

+3×

10

112

=

3

2

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．