Question

已知等差数列{a_n}的前n项和S_n，n∈N^*，且点（2，a₂），（a₇，S₃）均在直线x-y+1=0上
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n的前n项和S_n；
（Ⅱ）设b_n=

2

2Sn-n

，T_n=2^b₁•2^b₂•…•2^b_n，试比较T_n与

4	8

的大小．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得

2-a2+1=0 a7-S3+1=0

，从而a₁=2，d=1，由此能求出S_n．
（Ⅱ）由b_n=

2

2Sn-n

=

2

n2+2n

=

1

n

-

1

n+2

，得b₁+b₂+…+b_n=1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

=

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

＜

3

2

，从而T_n=2^b₁•2^b₂•…•2^b_n=2b1+b2+…+bn＜2

3

2

，由此得到n=1时，T_n＜

4	8

；n≥2时，T_n＞

4	8

．

解答： 解：（Ⅰ）∵等差数列{a_n}的前n项和S_n，n∈N^*，
且点（2，a₂），（a₇，S₃）均在直线x-y+1=0上，
∴

2-a2+1=0 a7-S3+1=0

，∴

a1+d=3 a1+6d-3a1-3d+1=0

，
解得a₁=2，d=1，
∴S_n=2n+

n(n-1)

2

×1=

n2+3n

2

．
（Ⅱ）b_n=

2

2Sn-n

=

2

n2+2n

=

1

n

-

1

n+2

，
∴b₁+b₂+…+b_n=1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

=

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

＜

3

2

，
∴T_n=2^b₁•2^b₂•…•2^b_n
=2b1+b2+…+bn＜2

3

2

=

8

，
当n=1时，T_n=2

3

2

-

1

2

-

1

3

=2

2

3

＜2

3

4

=

4	8

，
当n=2时，T_n=2

3

2

-

1

3

-

1

4

=2

11

12

＞2

3

4

=

4	8

，
∵{T_n}是增数列，
∴n=1时，T_n＜

4	8

；n≥2时，T_n＞

4	8

．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，考查T_n与

4	8

的大小的比较，解题时要注意等差数列的性质和裂项求和法的合理运用．