Question

2．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的中心为O，左焦点为F，P是双曲线上的一点$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{PF}$=0且4$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OF}$=3${\overrightarrow{OF}^2}$，则该双曲线的离心率是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{13}+1}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{7}+\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\sqrt{7}$+$\sqrt{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{10}+\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 通过向量的垂直，向量的数量积得到∠FOP=30°，设双曲线另一个焦点为D，则在△POD中，利用余弦定理以及双曲线的定义，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：∵$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{PF}=0$，∴$\overrightarrow{OP}⊥\overrightarrow{PF}$，
∴4$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OF}$=4|$\overrightarrow{OP}$|•|$\overrightarrow{OF}$|cos＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OF}$＞=4|$\overrightarrow{OP}$|•|$\overrightarrow{OF}$|•$\frac{|OP|}{|OF|}$=4|OP|²=3${\overrightarrow{OF}^2}$=3c²，
则|OP|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$ c，
则cos∠FOP=$\frac{|OP|}{|OF|}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}c}{c}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则∠FOP=30°，
则|PF|=$\frac{1}{2}$c
设双曲线另一个焦点为D，则在△POD中，
由余弦定理可得|PD|²=|OP|²+|OD|²-2|OP||OD|cos150°=$\frac{3}{4}$c²+c²+2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ c•c•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{13}{4}$c²，
则|PD|=$\frac{\sqrt{13}}{2}$c，
∵|PF|=$\frac{1}{2}$c，
∴由双曲线定义得|PD|-|PF|=2a，
即$\frac{\sqrt{13}}{2}$c-$\frac{1}{2}$c=2a，
则离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{\sqrt{13}-1}$=$\frac{4（\sqrt{13}+1）}{13-1}$=$\frac{4（\sqrt{13}+1）}{12}$=$\frac{{\sqrt{13}+1}}{3}$，
故选：A．

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据向量垂直以及余弦定理结合双曲线的定义建立方程关系是解决本题的关键．考查学生的运算和转化能力．