Question

10．已知正数x，y满足x²+4y²+x+2y≤2-4xy，则$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值为3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 正数x，y满足x²+4y²+x+2y≤2-4xy，变形为（x+2y）²+（x+2y）-2≤0，可得0＜x+2y≤1．因此$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$≥$\frac{x+2y}{x}$+$\frac{x+2y}{y}$，化简利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵正数x，y满足x²+4y²+x+2y≤2-4xy，
∴（x+2y）²+（x+2y）-2≤0，
解得0＜x+2y≤1．
则$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$≥$\frac{x+2y}{x}$+$\frac{x+2y}{y}$=3+$\frac{2y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥3+2$\sqrt{2}$，当且仅当x=$\sqrt{2}$y=$\sqrt{2}$-1时取等号．
∴$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值为3+2$\sqrt{2}$，
故答案为：3+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．