Question

12．直角△ABC中，C=$\frac{π}{2}$，AC=2．若D为AC中点，且sin∠ABD=$\frac{1}{3}$，则BC=$\sqrt{2}$；若D为AC上靠近点C的三等分点，则∠ABD的最大值为$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 （1）由题意画出图象设BC=x，由条件和勾股定理求出BD、AB，由直角三角形的正弦函数求出sin∠BAC，在△ABD中由正弦定理列出方程求出x的值；
（2）设BC=x，由条件和勾股定理求出BD、AB，由直角三角形的正弦函数求出sin∠BAC，在△ABD中由正弦定理列出方程化简后，表示出sin∠ABD，化简后利用基本定理求出sin∠ABD的范围，由∠ABD的范围和正弦函数的性质求出∠ABD的最大值．

解答 解：（1）如图所示：设BC=x，
∵C=$\frac{π}{2}$，AC=2，D为AC中点，∴DC=AD=1，
且AB=$\sqrt{{x}^{2}+4}$，BD=$\sqrt{{x}^{2}+1}$，
∴sin∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$，
∵sin∠ABD=$\frac{1}{3}$，∴在△ABD中，由正弦定理得$\frac{BD}{sin∠BAC}=\frac{AD}{sin∠DBA}$，
则$\frac{\sqrt{{x}^{2}+1}}{\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+4}}}=\frac{1}{\frac{1}{3}}$，即3$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$=$\sqrt{{x}^{2}+1}$，
化简得x⁴-4x²+4=0，解得x²=2，即x=$\sqrt{2}$，
∴BD=$\sqrt{2}$；
（2）设BC=x，
∵C=$\frac{π}{2}$，AC=2，D为AC上靠近点C的三等分点，∴DC=$\frac{2}{3}$、AD=$\frac{4}{3}$，
且AB=$\sqrt{{x}^{2}+4}$，BD=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{9}}$，
∴sin∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$，
在△ABD中，由正弦定理得$\frac{BD}{sin∠BAC}=\frac{AD}{sin∠DBA}$，则$\frac{\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{9}}}{\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+4}}}=\frac{\frac{4}{3}}{sin∠ABD}$，
即sin∠ABD=$\frac{4}{3}•\frac{\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+4}}}{\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{9}}}$=$\frac{4}{3}•\frac{x}{\sqrt{{（x}^{2}+4）（{x}^{2}+\frac{4}{9}）}}$=$\frac{4}{3}•\frac{x}{\sqrt{{x}^{4}+\frac{40}{9}{x}^{2}+\frac{16}{9}}}$
=$\frac{4}{3}•\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+\frac{16}{9{x}^{2}}+\frac{40}{9}}}$$≤\frac{4}{3}•\frac{1}{\sqrt{2×\frac{4}{3}+\frac{40}{9}}}$=$\frac{4}{3}×\frac{1}{\frac{8}{3}}$=$\frac{1}{2}$，
当且仅当${x}^{2}=\frac{16}{9{x}^{2}}$时取等号，
∴$sin∠ABD≤\frac{1}{2}$，
∵∠ABD是锐角，∴∠ABD的最大值是$\frac{π}{6}$，
故答案为：$\sqrt{2}；\frac{π}{6}$．

点评 本题考查正弦定理、勾股定理，求角转化为求角的某个三角函数值，以及基本不等式求最值问题等，考查化简、变形能力．