Question

给出下列四个命题，其中错误的命题是（　　）
①若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，则△ABC是等边三角形
②若sinA=cosB，则△ABC是直角三角形；
③若cosAcosBcosC＜0，则△ABC是钝角三角形；
④若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形．

• A、①②
• B、③④
• C、①③
• D、②④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,解三角形

分析：①中，由|cosα|≤1，且cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，可以推出A=B=C，判定①正确；
②中，由sinA=cosB=sin（

π

2

±B），推出A±B=

π

2

或A-B=0，判定②错误；
③中，由cosAcosBcosC＜0，得出cosA，cosB，cosC中必有一个为负，即△ABC为钝角三角形，判定③正确；
④中，由sin2A=sin2B，得出A=B或A+B=

π

2

，即△ABC是等腰或直角三角形，判定④错误．

解答： 解：对于①，∵|cosα|≤1，且cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，
∴cos（A-B）=cos（B-C）=cos（C-A）=1；
又∵A、B、C∈（0°，180°），∴A-B=B-C=C-A=0°，
∴A=B=C=60°，∴△ABC是等边三角形；∴①正确．
对于②，sinA=cosB=sin（

π

2

±B），即sinA=sin（

π

2

±B），
∴A=（

π

2

±B）或A+（

π

2

±B）=

π

2

，则A±B=

π

2

或A-B=0；∴②错误．
对于③，∵cosAcosBcosC＜0，∴cosA，cosB，cosC中必有一个为负数，
不妨设cosA＜0，则角A为钝角，∴△ABC是钝角三角形；∴③正确．
对于④，sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=

π

2

，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形；∴④错误．
所以，以上错误的命题是②④．
故选：D．

点评：本题通过命题真假的判定，考查了三角函数的应用以及解三角形的有关问题，解题时应熟练地掌握三角函数的常用公式并会灵活运用，是基础题．