Question

已知函数f（x）=（x-a）lnx．
（Ⅰ）若直线y=x+b与f（x）在x=1处相切，求实数a，b的值；
（Ⅱ）若f（x）在定义域上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：分类讨论,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出f（x）的导数，求得切点（1，0），结合切线方程和函数导数，即可得到a，b的值；
（Ⅱ）由题意可得x＞0，f′（x）=

x-a

x

+lnx=

x+xlnx-a

x

＞0，即有a＜x+xlnx，设g（x）=x+xlnx，运用导数求得单调区间，可得极小值，也为最小值，讨论a与最小值的关系，即可得到所求范围．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=（x-a）lnx的导数为
f′（x）=

x-a

x

+lnx（x＞0），
由f（1）=0，则切点为（1，0），
代入切线方程，可得b=-1，
由切线斜率为1，则有1=1-a，解得a=0；
（Ⅱ）由题意可得x＞0，f′（x）=

x-a

x

+lnx=

x+xlnx-a

x

＞0，
即有a＜x+xlnx，
设g（x）=x+xlnx，则g′（x）=2+lnx，
当0＜x＜e^-2时，g′（x）＜0，g（x）递减；当x＞e^-2时，g′（x）＞0，g（x）递增．
x=e^-2处g（x）取得极小值-e^-2．
当a＜-e^-2时，f′（x）＞0，
当a=-e^-2时，f′（e²）=0，x∈（0，e^-2）∪（e^-2，+∞），f′（x）＞0，
故若f（x）在定义域上单调递增时，a≤-e^-2．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间及极值、最值，运用参数分离和不等式的恒成立问题转化为求函数的最值是解题的关键．