Question

《算法统宗》是中国古代数学著作之一，书里有这样一题：甲牵一只肥羊走过来问牧羊人：“你赶得这群羊大概有100只吧？”牧羊人答：“如果这群羊加上一倍，再加上原来这群羊的一半，又加原来这群羊的

1

4

，连你牵着的这只肥羊也算进去，才刚好凑满一百只”．
（1）这位牧羊人赶得这群羊共有a只，则a=

 

．
（2）若正数x，y满足x+y=

1

4

a，则以x，y为边长的矩形的面积的最大值是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式,根据实际问题选择函数类型

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由题意可得：a+a+

1

2

a+

1

4

a+1=100，解得即可；
（2）由于正数x，y满足x+y=

1

4

a=9，利用基本不等式可得：S=xy≤(

x+y

2

)2即可得出．

解答： 解：（1）由题意可得：a+a+

1

2

a+

1

4

a+1=100，化为11a=99×4，解得a=36．
∴这位牧羊人赶得这群羊共有36只．
（2）∵正数x，y满足x+y=

1

4

a=9，
∴S=xy≤(

x+y

2

)2=

81

4

，当且仅当x=y=

9

2

时取等号．
∴以x，y为边长的矩形的面积的最大值是

81

4

．
故答案分别为：36，

81

4

．

点评：本题考查了基本不等式的性质、列方程解应用题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．