Question

设α∈（0，

π

2

），若cos（α+

π

6

）=

4

5

，则sin（2α+

π

12

）的值为

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,同角三角函数间的基本关系,两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的求值

分析：由同角三角函数基本关系可得sin（α+

π

6

），由二倍角公式可得sin2（α+

π

6

）和cos2（α+

π

6

），而sin（2α+

π

12

）=sin[2（α+

π

6

）-

π

4

]=

2

2

sin2（α+

π

6

）-

2

2

cos2（α+

π

6

），代值计算可得．

解答： 解：∵α∈（0，

π

2

），cos（α+

π

6

）=

4

5

，
∴sin（α+

π

6

）=

1-cos2(α+ π 6 )

=

3

5

，
∴sin2（α+

π

6

）=2sin（α+

π

6

）cos（α+

π

6

）=

24

25

，
cos2（α+

π

6

）=cos²（α+

π

6

）-sin²（α+

π

6

）=

7

25

，
∴sin（2α+

π

12

）=sin[2（α+

π

6

）-

π

4

]
=

2

2

sin2（α+

π

6

）-

2

2

cos2（α+

π

6

）
=

2

2

×

24

25

-

2

2

×

7

25

=

17 2

50

．
故答案为：

17 2

50

．

点评：本题考查两角和与差的三角函数，涉及二倍角公式，属中档题．