Question

已知非零向量

a

，

b

满足|

a

|=3|

b

|，且关于x的函数f（x）=

1

2

x³+

1

2

|

a

|x²+

a

•

b

x为R上增函数，则

a

，

b

夹角的取值范围是（　　）

• A、[0，

  π

  2

  ]
• B、[0，

  π

  3

  ]
• C、（

  π

  3

  ，

  π

  2

  ]
• D、（

  π

  3

  ，

  2π

  3

  ]

Answer 1

考点：数量积表示两个向量的夹角,平面向量数量积的运算

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用,平面向量及应用

分析：求导数，利用函数f（x）=

1

2

x³+

1

2

|

a

|x²+

a

•

b

x为R上增函数，可得导数大于或者等于0恒成立，利用判别式小于等于0在R上恒成立，再利用向量的数量积，即可得到结论．

解答： 解：因为于x的函数f（x）=

1

2

x³+

1

2

|

a

|x²+

a

•

b

x为R上增函数，
所以导数f′（x）=

3

2

x²+|

a

|x+

a

•

b

≥0在R上恒成立，
∴△=|

a

|2-6

a

•

b

≤0在R上恒成立，
设

a

，

b

夹角为θ，
∵|

a

|=3|

b

|≠0，
∴9-18cosθ≤0
∴cosθ≥

1

2

，
∵θ∈[0，π]
∴θ∈[0，

π

3

]
故选B．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查向量的数量积，解题的关键是利用判别式小于等于0在R上恒成立．