Question

在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2．
（Ⅰ）若C=

π

3

，且△ABC的面积等于

3

，求a，b；
（Ⅱ）若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求a的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）由c与cosC的值，利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，把sinC的值代入列出关系式，联立求出a，b的值即可；
（Ⅱ）已知等式右边利用二倍角的正弦函数公式化简，由cosA的值为0与不为0两种情况求出a的范围即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵c=2，C=

π

3

，∴由余弦定理得：a²+b²-ab=4，
又∵△ABC的面积等于

3

，
∴

1

2

absinC=

3

，即ab=4，
联立方程组

a2+b2-ab=4 ab=4

，
解得：a=b=2；
（Ⅱ）由题意得：sin（B+A）+sin（B-A）=4sinAcosA，即sinBcosA=2sinAcosA，
当cosA=0，即A=

π

2

时，a²=b²+4＞4，故a∈（2，+∞）；
当cosA≠0，即A≠

π

2

时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，
由三条边构成三角形的条件可得：

3a＞2 a+2＞2a

，即a∈（

2

3

，2），
综上：当A=

π

2

时，a∈（2，+∞）；当A≠

π

2

时，a∈（

2

3

，2）．

点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．