Question

4．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，$\frac{a-c}{b-c}$=$\frac{sinB}{sinA+sinC}$．
（Ⅰ）求∠A的大小；
（Ⅱ）若a=$\sqrt{3}$，△ABC在BC边上的中线长为1，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （I）由$\frac{a-c}{b-c}$=$\frac{sinB}{sinA+sinC}$，利用正弦定理可得：$\frac{a-c}{b-c}$=$\frac{b}{a+c}$，化简再利用余弦定理即可得出．
（II）设∠ADB=α．在△ABD与△ACD中，由余弦定理可得：${c}^{2}=1+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$-$2×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα，b²=${1}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$-$2×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$×cos（π-α），可得b²+c²=$\frac{7}{2}$．又b²+c²-3=bc，联立解得b+c即可得出．

解答 解：（I）由$\frac{a-c}{b-c}$=$\frac{sinB}{sinA+sinC}$，利用正弦定理可得：$\frac{a-c}{b-c}$=$\frac{b}{a+c}$，化为：b²+c²-a²=bc．
由余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，A∈（0，π）．
∴A=$\frac{π}{3}$．
（II）设∠ADB=α．
在△ABD与△ACD中，由余弦定理可得：${c}^{2}=1+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$-$2×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα，
b²=${1}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$-$2×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$×cos（π-α），
∴b²+c²=2+$\frac{3}{2}$=$\frac{7}{2}$．
又b²+c²-3=bc，
联立解得b+c=2$\sqrt{2}$．
∴△ABC的周长为2$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．