Question

9．（1）已知$a＞0，b＞0且a+b＞2，求证：\frac{1+b}{a}，\frac{1+a}{b}$中至少有一个小于2．
（2）已知a＞0，$\frac{1}{b}$-$\frac{1}{a}$＞1，求证：$\sqrt{1+a}$＞$\frac{1}{\sqrt{1-b}}$．

Answer 1

分析 （1）使用反证法证明；
（2）使用分析法证明．

解答 证明：（1）假设$\frac{1+b}{a}，\frac{1+a}{b}$都不小于2，
则$\frac{1+b}{a}≥2，\frac{1+a}{b}≥2$，
∵a＞0，b＞0，∴1+b≥2a，1+a≥2b，
两式相加得：2+a+b≥2（a+b），解得 a+b≤2，
这与已知a+b＞2矛盾，
故假设不成立，
∴$\frac{1+b}{a}，\frac{1+a}{b}$中至少有一个小于2．
（2）∵$\frac{1}{b}$-$\frac{1}{a}$＞1，a＞0，∴0＜b＜1，
要证$\sqrt{1+a}$＞$\frac{1}{\sqrt{1-b}}$，只需证$\sqrt{1+a}$•$\sqrt{1-b}$＞1，
只需证1+a-b-ab＞1，只需证a-b-ab＞0，即$\frac{a-b}{ab}$＞1．
即$\frac{1}{b}$-$\frac{1}{a}$＞1．这是已知条件，
所以原不等式成立．

点评 本题考查了不等式的证明，属于中档题．