Question

已知函数f（x）=|x-3a|，（a∈R）
（I）当a=1时，解不等式f（x）＞5-|2x-1|；
（Ⅱ）若存在x₀∈R，使f（x₀）+x₀＜6成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（I）当a=1时，原不等式可化为|x-3|+|2x-1|＞5，通过对x取值范围的讨论，去掉式中的绝对值符号，解相应的不等式，最后取并即可；
（Ⅱ）构造函数g（x）=f（x）+x=|x-3a|+x，则g（x）=

2x-3a，x≥3a 3a，x＜3a

，易知函数g（x）=f（x）+x最小值为3a，依题意，解不等式3a＜6即可求a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞5-|2x-1|可化为|x-3|+|2x-1|＞5，
当x＜

1

2

时，不等式为3-x+1-2x＞5，∴x＜-

1

3

，
当

1

2

≤x≤3时，不等式即3-x+2x-1＞5，∴x＞3，所以x∈∅，
当x＞3时，不等式即x-3+2x-1＞5，∴x＞3，
综上所述不等式的解集为{x|x＜-

1

3

或x＞3}．…（5分）
（Ⅱ）令g（x）=f（x）+x=|x-3a|+x，则g（x）=

2x-3a，x≥3a 3a，x＜3a

，
所以函数g（x）=f（x）+x最小值为3a，
根据题意可得3a＜6，即a＜2，所以a的取值范围为（-∞，2）．…（10分）

点评：本题考查绝对值不等式的解法，通过对x取值范围的讨论，去掉式中的绝对值符号是关键，考查构造函数思想与运算求解能力，属于中档题．