Question

给出四个等式：
1=1
1-4=-（1+2）
1-4+9=1+2+3
1-4+9-16=-（1+2+3+4）
…
（1）写出第5，6个等式，并猜测第n（n∈N^*）个等式；
（2）用数学归纳法证明你猜测的等式．

Answer 1

考点：数学归纳法,归纳推理

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）本题考查归纳推理，解题时要认真分析题意中的等式，发现其变化的规律，注意验证即可；
（2）根据数学归纳法证明步骤即可证明．

解答： 解：（1）第5行  1-4+9-16+25=1+2+3+4+5-----------------------------------------（2分）
第6行  1-4+9-16+25-36=-（1+2+3+4+5+6）-------------------------------（4分）
第n行等式为：
1²-2²+3²-4²+…+（-1）^n-1n²=（-1）^n-1•（1+2+3+…+n）．-------------（6分）
（2）证明：①当n=1时，左边=1²=1，
右边=（-1）⁰×

1×(1+1)

2

=1，左边=右边，等式成立．--------------------（8分）
②假设n=k（k∈N^*）时，等式成立，即1²-2²+3²-4²+…+（-1）^k-1k²=（-1）^k-1•

k(k+1)

2

．
则当n=k+1时，
1²-2²+3²-4²+…+（-1）^k-1k²+（-1）^k（k+1）²
=（-1）^k-1•

k(k+1)

2

+（-1）^k（k+1）²
=（-1）^k（k+1）•[（k+1）-

k

2

]
=（-1）^k•

(k+1)[(k+1)+1]

2

．
∴当n=k+1时，等式也成立
根据①②可知，对于任何n∈N^*等式均成立．--------------------------（12分）

点评：用数学归纳法证明问题的步骤是：第一步验证当n=n₀时命题成立，第二步假设当n=k时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．本题解题的关键是利用第二步假设中结论证明当n=k+1时成立，本题是一个中档题目．