Question

过双曲线x²-y²=1的右焦点F作倾斜角为60°的直线l，交双曲线于A、B两点．
（1）求双曲线的离心率和渐近线；
（2）求|AB|．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）双曲线x²-y²=1中a=b=1，c=

2

，可得双曲线的离心率和渐近线；
（2）确定AB的方程，代入双曲线x²-y²=1的方程化简可得2x²+6

2

x-7=0，即可求|AB|．

解答： 解：（1）双曲线x²-y²=1中a=b=1，∴c=

2

，
∴e=

2

，y=±x
（2）AB的斜率为tan60°=

3

，又双曲线x²-y²=1的右焦点F（

2

，0），
故AB的方程为y-0=

3

（x-

2

），代入双曲线x²-y²=1的方程化简可得2x²+6

2

x-7=0，
∴x₁+x₂=-3

2

，x₁x₂=-

7

2

，
∴|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=2

18+14

=8

2

．

点评：本题考查双曲线的性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，难度中等．