Question

已知双曲线与椭圆

x2

16

+

y2

7

=1共焦点，双曲线的离心率为

3

2

．
（1）求椭圆长轴长、离心率．        
（2）求双曲线方程和渐近线方程．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出椭圆的焦点，以及a，b，c，即可得到长轴长2a，以及离心率；
（2）设出双曲线的方程，由离心率公式可得m，再由双曲线的a，b，c的关系可得n，进而得到双曲线方程和渐近线方程．

解答： 解：（1）椭圆

x2

16

+

y2

7

=1的焦点为（±3，0），
a=4，b=

7

，c=3．
则椭圆长轴长为2a=8，离心率为e=

c

a

=

3

4

；
（2）设双曲线的方程为

x2

m2

-

y2

n2

=1（m＞0，n＞0），
则m²+n²=3²，

3

m

=

3

2

，解得m=2，n=

5

，
则双曲线方程为

x2

4

-

y2

5

=1，
则渐近线方程为y=±

5

2

x．

点评：本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查离心率和渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．