题目内容

2014年11月12日，科幻巨片《星际穿越》上映，上映至今，全球累计票房高达6亿美金．为了解绵阳观众的满意度，某影院随机调查了本市观看此影片的观众，并用“10分制”对满意度进行评分，分数越高满意度越高，若分数不低于9分，则称该观众为“满意观众”．现从调查人群中随机抽取12名，如果所示的茎叶图记录了他们的满意度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）．
（1）求从这12人中随机选取2人，至少有1人为“满意观众”的概率；
（2）一本次抽样的频率作为概率，从整个绵阳市观看此影片的观众中任选3人，记ξ表示抽到“满意观众”的人数，求ξ的分布列及数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差,茎叶图,离散型随机变量及其分布列
专题：概率与统计
分析：（Ⅰ）设所选取的2人中至少有1人为“满意观众”的事件为A，由对立事件概率计算公式能求出至少有1人为“满意观众”的概率．
（Ⅱ） 由茎叶图可以得到抽样中“满意观众”的频率
2
3
，从而得到从观看此影片的“满意观众”的概率为
2
3
，由题意有ξ=0，1，2，3，由此能求出ξ的分布列及数学期望．
解答： 解：（Ⅰ）设所选取的2人中至少有1人为“满意观众”的事件为A，
则
.
A
为所选取的人中没有1人为“满意观众”，
∴P（A）=1-P（
.
A
）=1-
C
2
4
C
2
12
=1-
1
11
=
10
11
，
即至少有1人为“满意观众”的概率为
10
11
． 
（Ⅱ） 由茎叶图可以得到抽样中“满意观众”的频率为
8
12
=
2
3
，
即从观看此影片的“满意观众”的概率为
2
3
，
同理，不是“满意观众”的概率为
1
3
．
由题意有ξ=0，1，2，3，则
P（ξ=0）=
C
0
3
(
1
3
)3=
1
27
，
P（ξ=1）=
C
1
3
×
2
3
×(
1
3
)2=
2
9
，
P（ξ=2）=
C
2
3
×(
2
3
)2×
1
3
=
4
9
，
P（ξ=3）=
C
3
3
(
2
3
)3=
8
27
，
∴ξ的分布列为
ξ0123
P
1
27
2
9
4
9
8
27
∴ξ的数学期望Eξ=0×
1
27
+1×
2
9
+2×
4
9
+3×
8
27
=2．
点评：本题主要考查茎叶图、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力．
练习册系列答案
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下列四个函数y=2x2+1，y=x3，y=（
1
2
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若复数
a+i
1-2i
是纯虚数，则实数a的值为（　　）
A、-
1
2
B、-
2
5
C、
1
5
D、2
已知三个球的表面积之比为1：4：9，若它们的体积依次为V1、V2、V3，则V1+V2=
 
V3．
某单位2015年元旦联欢晚会准备有歌曲，戏曲，魔术，小品，相声，舞蹈，杂技这7个表演节目，其中歌曲必须放在最后，魔术师表示如果和相声或小品节目相邻时，魔术表演极易出现失误，则尽可能促使魔术表演成功的节目安排的种数有．
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A、1或-1B、-1C、1D、2
已知
a
=（1-t，1-t，t），
b
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a
-
b
|的最小值是
 
．
已知a，b为正实数，且a+b=2，则
a2+2
a
+
b2
b+1
的最小值为
 
．
已知双曲线与椭圆
x2
16
+
y2
7
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3
2
．
（1）求椭圆长轴长、离心率．        
（2）求双曲线方程和渐近线方程．

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