Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a-b=2，c=4，sinA=2sinB．
（Ⅰ）求△ABC的面积；
（Ⅱ）求sin（2A-B）．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：解法一：（I）由已知及正弦定理可求a，b的值，由余弦定理可求cosB，从而可求sinB，即可由三角形面积公式求解．
（II）由余弦定理可得cosA，从而可求sinA，sin2A，cos2A，由两角差的正弦公式即可求sin（2A-B）的值．
解法二：（I）由已知及正弦定理可求a，b的值，又c=4，可知△ABC为等腰三角形，作BD⊥AC于D，可求BD=

c2-( b 2 )2

=

15

，即可求三角形面积．
（II）由余弦定理可得cosB，即可求sinB，由（I）知A=C⇒2A-B=π-2B．从而sin（2A-B）=sin（π-2B）=sin2B，代入即可求值．

解答： 解：
解法一：（I）由sinA=2sinB⇒a=2b．
又∵a-b=2，
∴a=4，b=2． 
cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

42+42-22

2×4×4

=

7

8

． 
sinB=

1-cos2B

=

1-( 7 8 )2

=

15

8

．
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×4×4×

15

8

=

15

．
（II）cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

22+42-42

2×2×4

=

1

4

．
sinA=

1-cos2A

=

1-( 1 4 )2

=

15

4

．  
sin2A=2sinAcosA=2×

1

4

×

15

4

=

15

8

．
cos2A=cos²A-sin²A=-

7

8

．
∴sin（2A-B）=sin2AcosB-cos2AsinB
=

15

8

×

7

8

-(-

7

8

)×

15

8

=

7 15

32

．

解法二：（I）由sinA=2sinB⇒a=2b．
又∵a-b=2，
∴a=4，b=2． 
又c=4，可知△ABC为等腰三角形． 
作BD⊥AC于D，则BD=

c2-( b 2 )2

=

42-12

=

15

． 
∴S_△ABC=

1

2

×AC×BD=

1

2

×2×

15

=

15

．
（II）cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

42+42-22

2×4×4

=

7

8

．
sinB=

1-cos2B

=

1-( 7 8 )2

=

15

8

．
由（I）知A=C⇒2A-B=π-2B．
∴sin（2A-B）=sin（π-2B）=sin2B
=2sinBcosB  
=2×

15

8

×

7

8

=

7 15

32

．

点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的应用，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．