Question

在数列{a_n}，{b_n}中a₁=2，a_n=a_n-1+2n，且a_n，b_n，a_n+1成等差数列．
（1）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）证明：

1

a1+b1

+

1

a2+b2

+…+

1

an+bn

＜

5

12

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：计算题,证明题,等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）运用a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1），即可得到{a_n}的通项公式，再由等差数列的中项性质，即可求得{b_n}的通项公式；
（2）运用放缩法和裂项相消法，由于n＞1时，

1

2n2+3n+1

＜

1

2n2+2n

=

1

2

•

1

n(n+1)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），从第二项起，放缩求和即可得证．

解答： （1）解：a₁=2，a_n=a_n-1+2n，（n＞1，n∈N），
则a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=2+2×2+2×3+…+2n
=2+

1

2

（4+2n）（n-1）=n²+n，
由a_n，b_n，a_n+1成等差数列，则2b_n=a_n+a_n+1
=n²+n+（1+n）²+n+1=2n²+4n+2，
则b_n=n²+2n+1，
故a_n=n²+n，b_n=n²+2n+1；
（2）证明：要证

1

a1+b1

+

1

a2+b2

+…+

1

an+bn

＜

5

12

，
即证

1

2+4

+

1

6+9

+…+

1

2n2+3n+1

＜

5

12

由于n=1时，

1

6

＜

5

12

成立，即证n＞1时成立即可．
由于n＞1时，

1

2n2+3n+1

＜

1

2n2+2n

=

1

2

•

1

n(n+1)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），
则有

1

6+9

+…+

1

2n2+3n+1

＜

1

2

（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=

1

4

-

1

2(n+1)

，
即有

1

2+4

+

1

6+9

+…+

1

2n2+3n+1

＜

1

6

+

1

4

-

1

2(n+1)

＜

1

6

+

1

4

=

5

12

．
则原不等式成立．

点评：本题考查等差数列的通项和性质，以及求和，考查累加法和裂项相消求和的方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．