Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点，，Q为平面上的动点，且，线段的中垂线与线段交于点P．

求的值，并求动点P的轨迹E的方程；

若直线l与曲线E相交于A，B两点，且存在点其中A，B，D不共线，使得，证明：直线l过定点．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

由中垂线性质可知，根据椭圆性质得出P点轨迹方程；

设，，直线l方程为，与椭圆方程联立方程，利用根与系数关系得出关系式，由可知，根据斜率公式化简即可得出m，n的关系，从而得出直线l的定点坐标．

解：由已知，，，

依题意有：，

，

故点P的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，即，，，

故点P的轨迹E的方程为．

令，，

因A，B，D不共线，故l的斜率不为0，

令l的方程为：，则由得，

，

则，，

，，

即，整理得，

而，代入得：

，

把代入得：，

当时，得：，

此时l的方程为：，过定点．

当时，亦满足，此时l的方程为：．

综上所述，直线l恒过定点．