Question

【题目】已知函数，其中为自然对数的底数．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）设，证明：函数有两个零点，且．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见证明

【解析】

(Ⅰ)先求的导数，对参数a进行讨论，可得的单调性；

(Ⅱ) 由（Ⅰ）知当时，的单调性，可得在上有一个零点，同时在上有一个零点，可得，可得结论.

解：（Ⅰ）

当时，当时，，故单调递增

当时，，故单调递减

∴在上单调递减，在上单调递增

当时，，故在上单调递增

当时，当时，，故单调递增

当时，，故单调递减

∴在上单调递减，在上单调递增

∴综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增

当时，，故在上单调递增

当时，在上单调递减，在上单调递增

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，在上单调递减，在上单调递增

∴至多有两个零点

∵

∴

又∵

∴由零点定理知，在上有一个零点

又∵在上单调递减，在上单调递增

∴当时，取最小值

∵

∴ 设

则，故在上单调递增

∴当时，

∴

∴由零点定理知，在上有一个零点

∴有且仅有两个零点，且

∴，即

∴