题目内容
【题目】已知函数 f（x）=ax+（1﹣a）lnx+
（a∈R）
（Ⅰ）当a=0时，求 f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＜0时，求 f（x）的单调区间；
（Ⅲ）方程 f（x）=0的根的个数能否达到3，若能请求出此时a的范围，若不能，请说明理由．
【答案】
【解析】
试题（Ⅰ）代入a的值，求出定义域，求导，利用导数求出单调区间，即可求出极值；（Ⅱ）直接对f（x）求导，根据a的不同取值，讨论f（x）的单调区间；（Ⅲ）由第二问的结论，即函数的单调区间来讨论f（x）的零点个数．
试题解析：（Ⅰ）f（x）其定义域为（0，+∞）．
当a=0时，f（x）=
，f'（x）=
．
令f'（x）=0，解得x=1，
当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0．
所以f（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）；
所以x=1时，f（x）有极小值为f（1）=1，无极大值
（Ⅱ） f'（x）=a﹣
（x＞0）
令f'（x）=0，得x=1或x=﹣
当﹣1＜a＜0时，1＜﹣，令f'（x）＜0，得0＜x＜1或x＞﹣，
令f'（x）＞0，得1＜x＜﹣；
当a=﹣1时，f'（x）=﹣
．
当a＜﹣1时，0＜﹣
＜1，令f'（x）＜0，得0＜x＜﹣或x＞1，
令f'（x）＞0，得﹣＜a＜1；
综上所述：
当﹣1＜a＜0时，f（x）的单调递减区间是（0，1），（﹣
），
单调递增区间是（1，﹣）；
当a=﹣1时，f（x）的单调递减区间是（0，+∞）；
当a＜﹣1时，f（x）的单调递减区间是（0，﹣），（1，+∞），单调递增区间是
（Ⅲ）a≥0∴
f'（x）=0（x＞0）仅有1解，方程f（x）=0至多有两个不同的解．
（注：也可用fmin（x）=f（1）=a+1＞0说明．）
由（Ⅱ）知﹣1＜a＜0时，极小值 f（1）a+1＞0，方程f（x）=0至多在区间（﹣
）上有1个解．
a=﹣1时f（x）单调，方程f（x）=0至多有1个解．；
a＜﹣1时，
，方程
f（x）=0仅在区间内（0，﹣
）有1个解；
故方程f（x）=0的根的个数不能达到3．
