Question

【题目】如图，已知椭圆C：的离心率为，并且椭圆经过点P(1，)，直线l的方程为x＝4．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知椭圆内一点E(1，0)，过点E作一条斜率为k的直线与椭圆交于A，B两点，交直线l于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数，使得k1＋k2＝k3？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) .

(2) 存在，使得．

【解析】

(1)根据已知得到a,b的方程组，解方程组即得椭圆的方程.(2) 设直线的方程为：，利用韦达定理求出，，即得和的值.

（1）因为椭圆的离心率为，所以，

又椭圆过点，所以，

所以，，所以椭圆方程为．

（2）设直线的方程为：，令，则，所以点，

设，

所以

．

由，可得．

所以，，

所以 ．

又因为，所以，

所以存在，使得．