Question

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），且在[-6，-4]上是增函数，在锐角△ABC中，令m=f（sinA+sinB），n=f（cosA+cosC），则m和n的大小关系为（　　）

• A、m＞n
• B、m＜n
• C、m=n
• D、不能确定大小

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：首先根据A、B是锐角三角形的两个内角，结合y=sinx在区间（0，

π

2

）上是增函数，证出sinA＞cosC．然后根据偶函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），可得函数f（x）是周期为4的函数，且f（x）在[0，2]上是减函数．最后比较大小．

解答： 解：∵A、C是锐角三角形的两个内角
∴A+C＞

π

2

，可得A＞

π

2

-C，
∵y=sinx在区间（0，

π

2

）上是增函数，

π

2

＞A＞

π

2

-C＞0，
∴sinA＞sin（

π

2

-C）=cosC，即锐角三角形的两个内角A、C是满足sinA＞cosC，
同理，sinB＞cosA，
∴sinA+sinB＞cosA+cosC，且（sinA+sinB）∈（0，2）与cosA+cosC∈（0，2），
∵函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），可得函数f（x）是周期为4的函数．
∵f（x）在[-6，-4]上是增函数，
∴f（x）在[-2，0]上也是增函数，
再结合函数f（x）是定义在R上的偶函数，可得f（x）在[0，2]上是减函数．
f（sinA+sinB）＜f（cosA+cosC），
m＜n，
故选：B

点评：本题以函数的单调性与奇偶性为例，考查了锐角三角形的性质、函数的定义域与简单性质等知识点，属于中档题．