Question

6．用定义法证明函数y=x³-1在R上是单调递增函数．

Answer 1

分析 根据增函数的定义，设任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后作差，根据立方差公式分解因式，并配方便可得到${y}_{1}-{y}_{2}=（{x}_{1}-{x}_{2}）[（{x}_{1}+\frac{{x}_{2}}{2}）^{2}+\frac{3}{4}{{x}_{2}}^{2}]$，这样便可证明y₁＜y₂，从而得出原函数在R上单调递增．

解答 证明：设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则：
${y}_{1}-{y}_{2}={{x}_{1}}^{3}-{{x}_{2}}^{3}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（{{x}_{1}}^{2}+{x}_{1}{x}_{2}+{{x}_{2}}^{2}）$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）[（{x}_{1}+\frac{{x}_{2}}{2}）^{2}+\frac{3}{4}{{x}_{2}}^{2}]$；
∵x₁＜x₂；
∴x₁-x₂＜0，$（{x}_{1}+\frac{{x}_{2}}{2}）^{2}+\frac{3}{4}{{x}_{2}}^{2}＞0$；
∴y₁＜y₂；
∴原函数在R上是单调递增函数．

点评 考查增函数的定义，以及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较y₁，y₂，以及立方差公式和配方法的运用．