Question

18．已知实数m，n满足n=2$\sqrt{1-\frac{{m}^{2}}{5}}$，则$\sqrt{{m}^{2}+（n-1）^{2}}$+$\sqrt{（m-1）^{2}+{n}^{2}}$的最小值是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由n=2$\sqrt{1-\frac{{m}^{2}}{5}}$得到$\frac{{m}^{2}}{5}$+$\frac{{n}^{2}}{4}$=1，则（m，n）表示椭圆$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上的点，故则$\sqrt{{m}^{2}+（n-1）^{2}}$+$\sqrt{（m-1）^{2}+{n}^{2}}$椭圆上的点到（0，1）和（1，0）上距离的最小值，问题得以解决．

解答 解：n=2$\sqrt{1-\frac{{m}^{2}}{5}}$，
则$\frac{{m}^{2}}{5}$+$\frac{{n}^{2}}{4}$=1，则（m，n）表示椭圆$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上的点，
则$\sqrt{{m}^{2}+（n-1）^{2}}$+$\sqrt{（m-1）^{2}+{n}^{2}}$椭圆上的点到（0，1）和（1，0）上距离的最小值，即为（0，1）到到点（1，0）的距离，故为$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了椭圆的定义，以及最短距离问题，以及点与点的距离公式，属于中档题．