Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，点M在A₁C上，且AM=

1

2

MC₁，N为BB₁的中点，则MN的长为

 

．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间向量及应用

分析：如图所示．建立空间直角坐标系，利用向量的坐标与模的计算公式即可得出．

解答： 解：如图所示，
N(a，a，

1

2

a)，C₁（0，a，a），A（a，0，0）．
∵AM=

1

2

MC₁，
∴

AM

=

1

3

AC1

，
∴

DM

=

DA

+

1

3

AC1

=（a，0，0）+

1

3

(-a，a，a)
=(

2

3

a，

1

3

a，

1

3

a)．
∴

MN

=

DN

-

DM

=(

1

3

a，

2

3

a，

1

6

a)，
∴|

MN

|=

1 9 a2+ 4 9 a2+ 1 36 a2

=

21

6

a．
故答案为：

21

6

a．

点评：本题考查了向量的坐标与模的计算公式，属于基础题．