Question

如图，已知点P（x₀，y₀）到直线l：Ax+By+C=0（AB≠0）的距离为d，求证：d=

|Ax0+By0+C|

A2+B2

．

Answer 1

考点：点到直线的距离公式

专题：空间位置关系与距离

分析：如图所示，作PQ⊥l，设垂足Q（x₁，y₁），利用直线垂直的斜率关系以及两点间的距离公式即可求出PQ．

解答： 证明：如图所示，作PQ⊥l，设垂足Q（x₁，y₁），
则有Ax₁+By₁+C=0①
∵l⊥PQ，
∴A（y₁-y₀）=B（x₁-x₀）②
又∵A≠0，
∴|PQ|=

(x1-x0)2+(y1-y0)2

=

A2+B2

|A|

|x1-x0|．
将①变形为A（x₁-x₀）+B（y₁-y₀）+Ax₀+By₀+C=0③
则由②③可得|x1-x0|=

|A|

A2+B2

|Ax0+By0+C|，
∴d=|PQ|=

|Ax0+B y   0 +C|

A2+B2

．
∴点P（x₀，y₀）到直线l：Ax+By+C=0（AB≠0）的距离为
d=|PQ|=

|Ax0+B y   0 +C|

A2+B2

．

点评：本题考查两直线垂直时斜率的关系以及两点间的距离公式等知识，属于中档题．