Question

已知函数f（x）=aln（1+x）+x²-10x在x=3处的切线平行与x轴．
（1）求a；
（2）求函数f（x）的单调区域；
（3）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数零点的判定定理

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求导f′（x），再由x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x²-10x的一个极值点即f′（3）=0建立方程，解之即可；
（2）由（1）确定函数f（x）的解析式，再由f′（x）＞0和f′（x）＜0求得单调区间；
（3）由（2）得到函数的极值点，求得极小值和极大值得答案．

解答： 解：（1）∵f′（x）=

a

x+1

+2x-10，
f′（3）=

a

4

+6-10=0，
解得：a=16；
（2）由（1）知，f（x）=16ln（1+x）+x²-10x，x∈（-1，+∞），
∴f′（x）=

2(x2-4x+3)

x+1

，
当x∈（-1，1）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0，
当x∈（1，3）时，f′（x）＜0，
∴f（x）的单调增区间是（-1，1），（3，+∞）．f（x）的单调减区间是（1，3）；
（3）由（2）知，f（x）的极大值为f（1）=16ln2-9，极小值为f（3）=32ln2-21．
且当x从右侧无限接近于-1时，f（x）趋于-∞，当x无限大时，f（x）趋于+∞，
∴若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，则b的取值范围是（32ln2-21，16ln2-9）．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，考查利用求导研究函数的单调性，解题的关键是弄清函数在某点取得极值的条件，同时考查了运算求解的能力，是中档题．