Question

13．2016年10月21日，台风“海马”导致江苏、福建、广东3省11市51个县（市、区）189.9万人受灾，某调查小组调查了受灾某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出频率分布直方图．
（Ⅰ）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如表所示，在表格空白处填写正确数字，并说明能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为捐款数额超过或不超过500元和自身经济损失是否超过4000元有关？
（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样的方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列，期望E（ξ）和方差D（ξ）．

	经济损失不超过4000元	经济损失超过4000元	总计
捐款超过500元	60
捐款不超过500元		10
总计

附：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d

P（K2≥k0）	0.050	0.010	0.001
k0	3.841	6.635	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，经济损失不超过4000元的有70人，经济损失超过4000元的有30人，求出K²，得到有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．
（Ⅱ）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过4000元居民的频率为0.3，将频率视为概率．由题意知ξ的取值可能有0，1，2，3，且ξ～B（3，$\frac{3}{10}$）．由此能求出ξ的分布列，期望E（ξ）和方差D（ξ）．

解答 解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，在抽取的100户中，经济损失不超过4000元的有70户，经济损失超过4000元的有30户，则表格数据如下

	经济损失不超过4000元	经济损失超过4000元	总计
捐款超过500元	60	20	80
捐款不超过500元	10	10	20
总计	70	30	100

k²的观测值$k=\frac{{100×{{（60×10-10×20）}^2}}}{80×20×70×30}≈4.762$．因为4.762＞3.841，P（K²≥3.841）=0.05．所以可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．
（Ⅱ）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过4000元的居民的频率为0.3，将频率视为概率，由题意知ξ的取值可能有0，1，2，3，ξ～B（3，$\frac{3}{10}$），$P（ξ=0）=C_3^0{（\frac{3}{10}）^0}{（\frac{7}{10}）^3}=\frac{343}{1000}$，$P（ξ=1）=C_3^1{（\frac{3}{10}）^1}{（\frac{7}{10}）^2}=\frac{441}{1000}$，$P（ξ=2）=C_3^2{（\frac{3}{10}）^2}{（\frac{7}{10}）^1}=\frac{189}{1000}$，$P（ξ=3）=C_3^3{（\frac{3}{10}）^3}{（\frac{7}{10}）^0}=\frac{27}{1000}$，
从而ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{343}{1000}$	$\frac{441}{1000}$	$\frac{189}{1000}$	$\frac{27}{1000}$

$E（ξ）=np=3×\frac{3}{10}=0.9$，$D（ξ）=np（1-p）=3×\frac{3}{10}×\frac{7}{10}=0.63$．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列，期望和方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．