Question

18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosA（ccosB+bcosC）=a．
（I）求A；
（II）若△ABC的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，且c²+abcosC+a²=4，求a．

Answer 1

分析 （I）由正弦定理化简已知等式可得2cosAsinA=sinA，结合sinA≠0，可求cosA=$\frac{1}{2}$，结合范围A∈（0，π），可求A的值．
（II）由△ABC的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，求出bc，利用c²+abcosC+a²=4，得出3a²+b²+c²=8，结合余弦定理求a．

解答 解：（I）由正弦定理可知，2cosA（sinBcosC+sinCcosB）=sinA，
即2cosAsinA=sinA，
因为A∈（0，π），
所以sinA≠0，
所以2cosA=1，即cosA=$\frac{1}{2}$
又A∈（0，π），
所以A=$\frac{π}{3}$；
（II）∵△ABC的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
∴$\frac{1}{2}bc×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，∴bc=1
∵c²+abcosC+a²=4，∴3a²+b²+c²=8，
∵a²=b²+c²-bc
∴4a²=7，∴a=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．